Question

如图，△ABD和△BCD是等边三角形，∠EDF=60°，
（1）请你判断△BEF的形状并说明理由；
（2）如果∠EDF绕点D旋转，交边BC于点F，请你判断△EBF的周长是否发生变化？如果不变，说明理由；如果变化，说明当点E在什么位置时，△EBF的周长最小．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由∠EDF=60°，可推得∠EBD=∠FBC，结合条件可证明△DEB≌△CFB，所以BE=BF，结合条件可证得△BEF为等边三角形；
（2）结合（1）可知当BE为AD边上的中线，即点E为AD的中点时其周长最小．

解答：解：（1）△DEF是等边三角形理由如下
∵△ABD和△BCD是等边三角形，∠EDF=60°
∴∠DBC=∠C=∠EDB=60°，且DB=DC，
∴∠DBF+∠DBC=60°
∵∠EBD+∠DBF=∠EDF=60°
∴∠EBD=∠FBC
在△DEB和△CFB中，

∠BDE=∠BCF=60° ∠EBD=∠FBC DB=CD

，
∴△DEB≌△CFB（AAS）
∴BE=BF
∵∠EBF=60°
∴△EBF是等边三角形
（2）△EBF的周长发生变化，当E是AD中点时△EBF的周长最小．
因为△EBF为等边三角形，所以当BE最小时周长最小，所以当BE为AD边上的中线即当E是AD中点时其周长最小．

点评：本题主要考查等边三角形的性质及判定，解题的关键是结合∠EDF=60°证得△DEB≌△CFB．