Question

15．正方形ABCD和正方形CEFG．
（1）如图1，正方形CEFG绕点C旋转，连接DE，BG，求证：DE=BG；
（2）如图2，在正方形CEFG绕点C旋转的过程中，连接AF，取AF的中点M，连接DM，GM，请探究DM与GM的关系．

Answer 1

分析 （1）如图1中，只要证明△BCG≌△DCE，即可推出DE=BG；
（2）如图2中，延长GM使得MH=GM，连接AH、DH、DG，延长AD交GF的延长线于N，交CD于O．想办法证明△DHG是等腰直角三角形即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，

在正方形ABCD和正方形CEFG中，
∵BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE，
∴DE=BG；

（2）结论：DM=MG，DM⊥MG，
理由：如图2中，延长GM使得MH=GM，连接AH、DH、DG，延长AD交GF的延长线于N，交CD于O．

∵AM=MF，∠AMH=∠FMG，MH=MG，
∴△AMH≌△FMG，
∴AH=GF=CG，∠AHM=∠FGM，
∴AH∥GN，
∴∠HAD=∠N，
∵∠ODN=∠OGC=90°，∠DON=∠GOC，
∴∠N=∠OCG，
∴∠HAD=∠DCG，∵AH=CG，AD=CD，
∴△HAD≌△GCD，
∴DH=DG，∠HDA=∠CDG，
∴∠HDG=∠ADC=90°，
∴△HDG是等腰直角三角形，
∵MH=MG，
∴DM⊥GH，DM=MH=MG，
∴DM=MG，DM⊥MG．

点评 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．