【题目】如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,对角线AC与BD交于点P,下面给出5个论断:①AB//CD;②AP=PC;③AB=CD;④∠BAD=∠DCB;⑤AD//BC.
(1)若用论断①和④作为条件,试证四边形ABCD是矩形.
(2)请你另选取两个能推出四边形ABCD为矩形的论断.如:_________和_________、___________和________________(不证明,用序号表示即可).
(3)若选取论断③和⑤作为条件,能推出四边形ABCD为矩形吗?若能,请给出证明;若不能,请举反例说明.
【答案】(1)证明见解析;(2)如:①和③,或②和③,或④和③;理由见详解;(3)不能,理由见详解.
【解析】
(1)根据圆内接四边形的性质得到由这两个条件组成的四边形为有一个角是直角的平行四边形即可判定矩形.
(2)利用矩形的三种判定方法即可得到结论;
(3)不能,因为一组对边平行,而另一组对边相等的还有可能是等腰梯形.
解:①AB//CD;②AP=PC;③AВ=CD;④∠BAD=∠DCB;⑤AD//BC.
(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠BAD+∠DCB=180°,
又∵∠BAD=∠DCB,
∴∠BAD=∠DCB=90°
∵AB//DC
∴∠BAD+∠ADC=180°,∠ADC=90°,
故四边形ABCD是矩形;
(2)如:①AB//CD和③AB=CD;
在四边形ABCD中,
∵AB//CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠BAD+∠ABC=180°,
∵∠BAD+∠DCB=180°,
∴∠ABC=∠DCB,
∵∠ABC+∠DCB=180°,
∴∠ABC=∠DCB=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形;
如:②AP=PC和③AB=CD;
∵∠ACD=∠ABD,AP=PC,AB=CD,
∴△ABP≌△DCP,
∴BP=DP,
∴四边形ABCD是平行四边形;
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠BAD+∠ABC=180°,
∵∠BAD+∠DCB=180°,
∴∠ABC=∠DCB,
∵∠ABC+∠DCB=180°,
∴∠ABC=∠DCB=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形;
如:③AB=CD和④∠BAD=∠DCB;
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠BAD+∠DCB=180°,
∴∠BAD=∠DCB=90°,
∵∠BAC=∠BDC,AB=CD,∠ABD=∠ACD,
∴△ABP≌△DCP,
∴AP=CP,BP=DP,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠BAD=∠DCB=90°,
∴四边形ABCD是矩形;
(3)不能,如图,
∵AD//BC,AB=DC,∠B≠90°,
∴四边形ABCD不是矩形.
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【题目】如图,AB为⊙O直径,C、D为⊙O上不同于A、B的两点,∠ABD=2∠BAC,连接CD.过点C作CE⊥DB,垂足为E,直线AB与CE相交于F点.
(1)求证:CF为⊙O的切线;
(2)当BF=5,时,求BD的长.
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【题目】如图,海面上甲、乙两船分别从A,B两处同时出发,由西向东行驶,甲船的速度为24n mile/h,乙船的速度为15n mile/h,出发时,测得乙船在甲船北偏东50°方向,且AB=10nmile,经过20分钟后,甲、乙两船分别到达C,D两处.
(参考值:sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192)
(1)求两条航线间的距离;
(2)若两船保持原来的速度和航向,还需要多少时间才能使两船的距离最短?(精确到0.01)
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【题目】新型冠状病毒爆发,教育部部署了“停课不停学”的有关工作,各地都在进行在线教育.小依同学为了了解网课学习情况,对本班部分同学最喜爱的课程进行了调查,调查课程分别是网上授课、体育锻炼、名著阅读、艺术欣赏和其他课程并制成以下两幅不完整的统计图, 请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)求本次调查中一共调查了多少名学生,及其中“名著阅读”所占的圆心角度数 .
(2)请把条形统计图补全.
(3)若该校一共有 3000 名学生,请估算出全校最喜爱的课程是“体育锻炼”的人数.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.AC=8cm,BD=6cm,点P为AC上一动点,点P以1cm/的速度从点A出发沿AC向点C运动.设运动时间为ts,当t=_____s时,△PAB为等腰三角形.
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【题目】端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗,某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个,购买种粽子与购买种粽子的费用相同,已知粽子的单价是种粽子单价的1.2倍.
(1)求、两种粽子的单价各是多少?
(2)若计划用不超过7000元的资金再次购买、两种粽子共2600个,已知、两种粽子的进价不变,求中粽子最多能购进多少个?
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【题目】“一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇,某公司生产A,B两种机械设备,每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍,公司若投入16万元生产A种设备,36万元生产B种设备,则可生产两种设备共10台.请解答下列问题:
(1)A、B两种设备每台的成本分别是多少万元?
(2)若A,B两种设备每台的售价分别是6万元,10万元,公司决定生产两种设备共60台,计划销售后获利不低于126万元,且A种设备至少生产53台,求该公司有几种生产方案.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象交于点A、B,与y轴交于点C.过点A作AD⊥x轴于点D,AD=2,∠CAD=45°,连接CD,已知△ADC的面积等于6.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)若点E是点C关于x轴的对称点,求△ABE的面积.
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