Question

【题目】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD交于点P，下面给出5个论断：①AB//CD；②AP=PC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD//BC．

(1)若用论断①和④作为条件，试证四边形ABCD是矩形．

(2)请你另选取两个能推出四边形ABCD为矩形的论断．如：_________和_________、___________和________________(不证明，用序号表示即可)．

(3)若选取论断③和⑤作为条件，能推出四边形ABCD为矩形吗?若能，请给出证明；若不能，请举反例说明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）如：①和③，或②和③，或④和③；理由见详解；（3）不能，理由见详解.

【解析】

（1）根据圆内接四边形的性质得到由这两个条件组成的四边形为有一个角是直角的平行四边形即可判定矩形．

（2）利用矩形的三种判定方法即可得到结论；

（3）不能，因为一组对边平行，而另一组对边相等的还有可能是等腰梯形．

解：①AB//CD；②AP=PC；③AВ=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD//BC．

（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠BAD+∠DCB=180°，

又∵∠BAD=∠DCB，

∴∠BAD=∠DCB=90°

∵AB//DC

∴∠BAD+∠ADC=180°，∠ADC=90°，

故四边形ABCD是矩形；

（2）如：①AB//CD和③AB=CD；

在四边形ABCD中，

∵AB//CD，AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°，

∵∠BAD+∠DCB=180°，

∴∠ABC=∠DCB，

∵∠ABC+∠DCB=180°，

∴∠ABC=∠DCB=90°，

∴平行四边形ABCD是矩形；

如：②AP=PC和③AB=CD；

∵∠ACD=∠ABD，AP=PC，AB=CD，

∴△ABP≌△DCP，

∴BP=DP，

∴四边形ABCD是平行四边形；

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠BAD+∠ABC=180°，

∵∠BAD+∠DCB=180°，

∴∠ABC=∠DCB，

∵∠ABC+∠DCB=180°，

∴∠ABC=∠DCB=90°，

∴平行四边形ABCD是矩形；

如：③AB=CD和④∠BAD=∠DCB；

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠BAD+∠DCB=180°，

∴∠BAD=∠DCB=90°，

∵∠BAC=∠BDC，AB=CD，∠ABD=∠ACD，

∴△ABP≌△DCP，

∴AP=CP，BP=DP，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠BAD=∠DCB=90°，

∴四边形ABCD是矩形；

（3）不能，如图，

∵AD//BC，AB=DC，∠B≠90°，

∴四边形ABCD不是矩形．