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    （A题）某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB=CD=900米，AD=BC=1700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，BC两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC=500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元．
    （1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计并在图形中画出；
    （2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？

    （B题）如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别为a、b、c、d．
    （1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论．
    （2）现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．
    【答案】分析：A：（1）根据“垂线段最短”即可画出使修建自来水管道的造价最低时，这三个工厂的自来水管道路线；
    （2）根据勾股定理和直角三角形的面积公式求得BH的长，根据相似三角形的对应边的比相等分别求得CF，DG的长，再根据每米造价800元求得价钱．
    B：（1）此题可以连接平行四边形的对角线，交点是O．作OO1⊥l于O1．根据梯形的中位线定理得到2OO1=DD1+BB1=b+d=AA1+CC1=a+c．
    （2）将l向上平移，分别有直线l过B点时；直线l过B点与D点之间时；直线l过D点时；直线l过C点与D点之间时；直线l过C点时；直线l过C点上方时．结合三角形的中位线定理和梯形的中位线定理进行分析．
    解答：（A题）解：（1）过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道路线．
    图形如图所示．（3分）

    （2）（法一）BE=BC-CE=1700-500=1200（米），
    AE==1500（米），
    ∵△ABE∽△CFE，
    得到：．
    ∴CF===300（米）．（5分）
    ∵△BHE∽△CFE，
    得到，
    ∴BH===720（米）．（6分）
    ∵△ABE∽△DGA，
    ∴，
    ∴DG===1020（米）．（9分）
    所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是
    720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元）    （10分）
    法二（设∠AEB=∂，利用三角函数可求得BH、CF、DG的长）


    （B题）（1）a+c=b+d．（2分）
    证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO1为点O到l的距离，
    ∴OO1为直角梯形BB1D1D的中位线，
    ∴2OO1=DD1+BB1=b+d；
    同理：2OO1=AA1+CC1=a+c．
    ∴a+c=b+d    （4分）

    （2）不一定成立（5分）
    分别有以下情况：
    直线l过A点时，c=b+d；
    直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；
    直线l过B点时，c-a=d；
    直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；
    直线l过D点时，a-c=b；
    直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；
    直线l过C点时，a=b+d；
    直线l过C点上方时，a+c=b+d．     （10分）

    点评：A中，考查了垂线段最短的性质以及运用勾股定理、直角三角形的面积和相似三角形的性质进行计算的方法；
    B中，主要是运用了梯形的中位线定理和三角形的中位线定理．
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