Question

10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过$\widehat{BD}$上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG=$\frac{3}{4}$，AH=3$\sqrt{3}$，求EM的值．

Answer 1

分析 （1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；
（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；
（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得$\frac{AH}{EM}$=$\frac{HC}{OE}$，由此即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，

∵AC∥EG，
∴∠G=∠ACG，
∵AB⊥CD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，
∴∠CEF=∠ACD，
∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，
∴△ECF∽△GCE．

（2）证明：如图2中，连接OE，

∵GF=GE，
∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵∠AFH+∠FAH=90°，
∴∠GEF+∠AEO=90°，
∴∠GEO=90°，
∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切线．

（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．

在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=$\frac{AH}{HC}$=$\frac{3}{4}$，
∵AH=3$\sqrt{3}$，
∴HC=4$\sqrt{3}$，
在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r-3$\sqrt{3}$，HC=4$\sqrt{3}$，
∴（r-3$\sqrt{3}$）²+（4$\sqrt{3}$）²=r²，
∴r=$\frac{25\sqrt{3}}{6}$，
∵GM∥AC，
∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴$\frac{AH}{EM}$=$\frac{HC}{OE}$，
∴$\frac{3\sqrt{3}}{EM}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{25\sqrt{3}}{6}}$，
∴EM=$\frac{25\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．