Question

矩形ABCD的对角线交于O点，一条边的长为1，△AOB是正三角形，则这个矩形的周长为

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质,等边三角形的性质

专题：压轴题

分析：画出图形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得AC=2OB，再根据等边三角形的三边都相等，然后求出AC=2AB，然后分①AB=1时，利用勾股定理列式求出BC，②BC=1时，利用勾股定理列式求出AB的长，再根据矩形的周长公式列式计算即可得解．

解答：解：在矩形ABCD中，AC=2OB，
∵△AOB是正三角形，
∴OB=AB，
∴AC=2AB，
①AB=1时，AC=2，
根据勾股定理，BC=

AC2-AB2

=

22-12

=

3

，
所以，矩形的周长=2（AB+BC）=2（1+

3

）=2+2

3

；
②BC=1时，根据勾股定理，AB²+BC²=AC²，
所以，AB²+1²=（2AB）²，
解得AB=

3

3

，
所以，矩形的周长=2（AB+BC）=2（

3

3

+1）=

2 3

3

+2；
综上所述，矩形的周长为2+2

3

或

2 3

3

+2．
故答案为：2+2

3

或

2 3

3

+2．

点评：本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的性质，难点在于要分情况讨论．