Question

如图，在下列矩形ABCD中，已知：AB＝a，BC＝b（a＜b），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题：

命题（Ⅰ）：图①中，若AH＝BG＝AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；
命题（Ⅱ）：图②中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；
命题（Ⅲ）：图③中，若EF垂直平分对角线AC，变BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形.
请解决下列问题：
小题1:命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；
小题2:画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）.
小题3:试探究比较图①，②，③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系

Answer 1

小题1:都是真命题…………………………………………（1分）
若选（Ⅰ）证明如下：
∵矩形ABCD
∴AD//BC
∵AH＝BG
∴四边形ABGH是平行四边形
∴AB＝HG
∴AB＝HG＝AH＝BG
∴四边形ABGH是菱形　………………………………………………………………（4分）
若选（Ⅱ），证明如下：
∵矩形ABCD　∴AB＝CD，AD＝BC
∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°
∵E、F、G、H是中点，
∴AE＝BE＝CG＝DG　AH＝HD＝BF＝FC
∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF
∴EF＝FG＝GH＝HE
∴四边形　EFGH是菱形………………………………………………………………（4分）
若选（Ⅲ），证明如下
∵EF垂直平分AC
∴FA＝FC　EA＝EC
又∵矩形ABCD
　∴AD//BC　　∴∠FAC＝∠ECA
在△AOF和△COE中

∴△ADF≌△COE（BAS）
∴AF＝CE　∴AF＝FC＝CE＝EA
∴四边形AECF是菱形………………………………………………………………（4分）
小题2:如图所示…………………………………………………………………………（6分）
小题3:S_ABGH＝a²   S_EFGH＝　　　　…………………（9分）
（b>a）
∴

∴
∴当时即0<b＜2a　
　当a＝时　即b＝2a　
　当a＝＜时　即b＞a　
综上所述：
当O＜b＜2a时    
当b＝2a时    
当b＞2a时    　　…………………………………（10分）

（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；
（2）该题要考虑到O＜b＜2a、b＝2a、b＞2a三种情况，学生做题时往往考虑不周到。