Question

18．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°
（1）求tan∠OAB的值；
（2）求图中阴影部分的面积S；
（3）在⊙O上一点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，回到点A，在点P的运动过程中，满足S_△POA=S_△AOB时，直接写出P点所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和求出∠OAB=30°，然后根据特殊角的三角函数值得到tan∠OAB的值；
（2）作OC⊥AB于C，如图，利用垂径定理得到AC=BC，在Rt△OAC中计算出OC=$\frac{1}{2}$OA=1，AC=$\sqrt{3}$OC=$\sqrt{3}$，则AB=2AC=2$\sqrt{3}$，然后根据扇形面积公式，利用S_弓形AB=S_扇形AOB-S_△AOB进行计算即可；
（3）延长BO交⊙O于P，易得S_△AOP=S_△AOB，利用∠AOP=∠OAB+∠OBA=60°得到此时P点所经过的弧长=$\frac{2}{3}$π（cm）；利用圆的对称性，当点P在$\widehat{AB}$上，且∠AOP=60°时，S_△AOP=S_△AOB，此时P点所经过的弧长=$\frac{10}{3}$π（cm）；当∠AOP=120时，S_△AOP=S_△AOB，利用弧长公式计算此时P点所经过的弧长．

解答 解：（1）∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∴tan∠OAB=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；

（2）作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC，
在Rt△OAC中，OC=$\frac{1}{2}$OA=1，AC=$\sqrt{3}$OC=$\sqrt{3}$，
∴AB=2AC=2$\sqrt{3}$，
∴S_弓形AB=S_扇形AOB-S_△AOB=$\frac{120•π•{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•1=（$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$）cm²；

（3）延长BO交⊙O于P，
∵OP=OB，
∴此时S_△AOP=S_△AOB，
∵∠AOP=∠OAB+∠OBA=60°，
∴此时P点所经过的弧长=$\frac{60•π•2}{180}$=$\frac{2}{3}$π（cm）；
当点P在$\widehat{AB}$上，且∠AOP=60°时，时S_△AOP=S_△AOB，
此时P点所经过的弧长=2π•2-$\frac{2}{3}$π=$\frac{10}{3}$π（cm）；
当∠AOP=120时，S_△AOP=S_△AOB，
∴此时P点所经过的弧长=$\frac{120π•2}{180}$=$\frac{4}{3}$π（cm）；
综上所述，P点所经过的弧长为$\frac{2}{3}$πcm或$\frac{4}{3}$πcm或$\frac{10}{3}$πcm．

点评 本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S_扇形=$\frac{n•π•{R}^{2}}{360}$πR²或S_扇形=$\frac{1}{2}$lR（其中l为扇形的弧长）．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．