Question

如图，AE、CP分别是钝角三角形ABC（∠ABC＞90°）的高，在CP上截取CD=AB，在AE的延长线上截取AQ=BC，连接BD、BQ．
（1）写出图中BD、BQ所在的三角形

 

；
（2）结合条件CD=AB，通过一组三角形全等，证明BD=BQ；
（3）求证：BD⊥BQ．

Answer 1

分析：（1）写也含有BD、BQ的三角形即可；
（2）根据已知利用SAS判定△ABQ≌△CDB，根据全等三角形的对应边相等，即可求得BD=BQ；
（3）根据全等三角形的对应角相等，可得到∠1=∠2，∠3=∠4，又因为CP是△ABC的高，可推出BQ⊥BD．

解答：解：
（1）△BDC，△BDP，△QBE，△QAB；

（2）AE、CP分别是△ABC的高
∴∠ABE=∠CBP（对顶角相等）
∴∠1=∠2（等角的余角相等）
在△ABQ和△CDB中

AQ = BC ∠1 = ∠2 AB = CD

．
∴△ABQ≌△CDB（SAS）
∴BD=BQ（全等三角形对应边相等）

（3）∵△ABQ≌△CDB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，（全等三角形对应角相等）
∴∠5=∠6（等量加等量和相等）
∠QBD=∠6+∠PBD=∠5+∠PBD=∠PBD+∠4+∠2）
∵CP⊥AB
∴∠PBD+∠4+∠2=90°
∴BQ⊥BD

点评：此题考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．