Question

如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE：EB=2：1，AF⊥DE于G，交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（　　）

• A、1：2
• B、1：4
• C、4：9
• D、2：3

Answer 1

分析：首先证△AED≌△BFA，得S_△ABF=S_△DAE，两者都减去△AEG的面积后可得S_△AGD=S_{四边形EGFB}，那么只需求△AEC和△AGD的面积关系即可；Rt△AED中，AG⊥ED，易证得△AEG∽△DAG，根据它们的相似比（可由AE、BE的比例关系求得），即可求得面积比，由此得解．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD；
∵∠EAG=∠EDA=90°-∠AEG，∠B=∠DAB=90°，AD=AB，
∴△AED≌△BFA；
∴S_△ABF=S_△DAE；
∴S_△ABF-S_△AEG=S_△DAE-S_△AEG，即S_△AGD=S_{四边形EGFB}；
∵∠EAG=∠EDA，∠AGE=∠DGA=90°，
∴△AEG∽△DAG；
∴

S△AEG

S△DAG

=（

AE

AD

）²=（

AE

AE+BE

）²=

4

9

；
∴S_△AEG：S_{四边形BGFB}=4：9；
故选C．

点评：此题主要考查了正方形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质．能够发现四边形BGFB和△AGD的面积关系是解答此题的关键．