Question

7．在平面直角坐标系中，已知点A（-3，4），点B（-1，-2），点C（1，2），O是坐标原点．
（1）求△AOB的面积；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题目画出相应的图形，求出直线AB的解析式，从而可得直线AB与x轴的交点，从而解答本题；
（2）根据题目画出相应的图形，求出直线AC的解析式，从而可得直线AC与y轴的交点，从而可以得到△AOC的面积，由（1）知△AOB的面积，从而解答本题．

解答 解：（1）如下图所示：

连接AB交x轴于点D，
∵点A（-3，4），点B（-1，-2），设过点A、B的直线为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=k×（-3）+b}\\{-2=k×（-1）+b}\end{array}\right.$
解得，k=-3，b=-5．
∴y=-3x-5．
将y=0代入y=-3x-5得，x=$-\frac{5}{3}$．
∴点D的坐标为（$-\frac{5}{3}，0$）．
∴S_△AOB=S_△ADO+S_△DOB=$\frac{\frac{5}{3}×4}{2}+\frac{\frac{5}{3}×2}{2}=5$．
（2）如下图所示：

连接AB交x轴于点D，连接AC交y轴于点E，
∵点A（-3，4），点C（1，2），设过点A、C的直线为y=ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=a×（-3）+b}\\{2=a×1+b}\end{array}\right.$
解得，a=-$\frac{1}{2}$，b=$\frac{5}{2}$．
∴y=$-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$．
将x=0代入$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$得，y=$\frac{5}{2}$．
∴点E的坐标为（0，$\frac{5}{2}$）．
∴S_△AOC=S_△AOE+S_△EOC=$\frac{\frac{5}{2}×3}{2}+\frac{\frac{5}{2}×1}{2}=5$．
∵由（1）知S_△AOB=5．
∴S_△ABC=S_△AOB+S_△AOC=5+5=10．

点评 本题考查坐标与图形的性质、三角形的面积，解题的关键是能画出相应的图形，利用数学中转化的数学思想，将所求的三角形的面积转化为求组成这个三角形的两个小三角形的面积．