Question

如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的直线交OA延长线于点R，且RP=RQ
求证：直线QR是⊙O的切线．

Answer 1

分析：连接OQ，由OB=OQ与RP=RQ，根据等边对等角的性质，可得∠B=∠BQO与∠RPQ=PQR，又由OA⊥OB与对顶角相等，可得∠BQO+∠PQR=90°，即可证得直线QR是⊙O的切线．

解答：证明：连接OQ，
∵OB=OQ，
∴∠B=∠BQO，
∵PR=QR，
∴∠RPQ=∠PQR，
∵OA⊥OB，
∴∠B+∠BPO=90°，
∵∠BPO=∠RPQ=∠PQR，
∴∠BQO+∠PQR=90°，
即OQ⊥QR，
∴直线QR是⊙O的切线．

点评：此题考查了切线的判定、等腰三角形的性质以及垂直的定义．此题难度不大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．