Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，3），顶点C位于第二象限，连结AB，AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是y轴正半轴上一点，且在B点上方，若∠DCB=∠CAB，请你猜想并证明CD与AC的位置关系；
（3）设与△AOB重合的△EFG从△AOB的位置出发，沿x轴负方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

（1）；（2）；（3）S＝ 

解析试题分析：（1）先根据抛物线与y轴交于点B（0，3）求得m的值，再由抛物线的顶点在第二象限，即可得到结果；
（2）由A（-3，0），B（0，3），C（-1，4）根据勾股定理可求得，根据勾股定理的逆定理可得，再结合∠DCB=∠CAB，即可证得结果；
（3）当0＜t≤时，如图，EF交AB于点Q，GF交AC于点N，过N做MP//FE交x轴于P点，交BF的延长线点M，BF的延长线交AC于点K，由△AGN∽△KFN根据相似三角形的性质可得，即可表示出PN，即可得到结果；当＜t≤3时，如图， EF交AB于点N，交AC于点M，BF交AC于点P，由△AME∽△PMF根据相似三角形的性质可得，即可表示出ME，从而可以求得结果.
（1）抛物线与y轴交于点B（0，3）
∴ 
∴ 
抛物线的顶点在第二象限，
∴ 
∴抛物线的解析式为；

（2）A（-3，0），B（0，3），C（-1，4）
∴
∴
∴
∴
又
∴
∴；
（3）当0＜t≤时，如图，EF交AB于点Q，GF交AC于点N，过N做MP//FE交x轴于P点，交BF的延长线点M，BF的延长线交AC于点K

由△AGN∽△KFN
得
即
解得PN＝2t
∴
当＜t≤3时，如图， EF交AB于点N，交AC于点M，BF交AC于点P

由△AME∽△PMF
得
即
解得ME＝2(3－t)
∴
综上所述：S＝ 
考点：二次函数的综合题
点评：解答本题的关键是读懂题意，画出图形，正确作出辅助线，熟练运用相似三角形的性质及三角形的面积公式解决问题.