Question

4．在平面直角坐标系xOy中，当m，n满足mn=k（k为常数，且m＞0，n＞0）时，就称点（m，n）为“等积点”．
（1）若k=4，求函数y=x-4的图象上满足条件的，“等积点”坐标；
（2）若直线y=-x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，并且直线有且只有一个“等积点”，过点A与y轴平行的直线和过点B与x轴平行的直线交于点C，点E是直线AC上的“等积点”，点F是直线BC上的“等积点”，若△OEF的面积为k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$，求EF的值．

Answer 1

分析 （1）设“等积点”坐标为（m，n），则有$\left\{\begin{array}{l}{mn=4}\\{m-n=4}\end{array}\right.$解方程组即可．
（2）如图，由题意“等积点”在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上，直线y=-x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，并且直线有且只有一个“等积点”，所以“等积点”M的坐标为（$\sqrt{k}$，$\sqrt{k}$），B（0，2$\sqrt{k}$），A（2$\sqrt{k}$，0），E（2$\sqrt{K}$，$\frac{1}{2}$$\sqrt{k}$），F（$\frac{1}{2}$$\sqrt{k}$，2$\sqrt{k}$），根据△OEF的面积=S_{正方形AOBC}-2•S_△AOE-S_△EFC=k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）设“等积点”坐标为（m，n），则有$\left\{\begin{array}{l}{mn=4}\\{m-n=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2\sqrt{2}+2}\\{n=2\sqrt{2}-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=2-2\sqrt{2}}\\{n=-2-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$（舍弃），
∴“等积点”坐标为（2$\sqrt{2}$+2，2$\sqrt{2}$-2）．

（2）如图，由题意“等积点”在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上，

∵直线y=-x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，并且直线有且只有一个“等积点”，
∴“等积点”M的坐标为（$\sqrt{k}$，$\sqrt{k}$），B（0，2$\sqrt{k}$），A（2$\sqrt{k}$，0），E（2$\sqrt{K}$，$\frac{1}{2}$$\sqrt{k}$），F（$\frac{1}{2}$$\sqrt{k}$，2$\sqrt{k}$），
∵△OEF的面积=S_{正方形AOBC}-2•S_△AOE-S_△EFC=k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$，
∴k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$=4k-k-$\frac{9}{8}$k，
解得k=1或-$\frac{3}{8}$（舍弃），
∴E（2，$\frac{1}{2}$），F（$\frac{1}{2}$，2），
∴EF=$\sqrt{（2-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}-2）^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查一次函数综合题、反比例函数的应用、二元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，学会用方程或方程组的思想思考问题，属于中考压轴题．