Question

如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN=EF．你认为（ ）

A．仅小明对
B．仅小亮对
C．两人都对
D．两人都不对

Answer 1

【答案】分析：若MN=EF，先构造出以MN与EF为斜边的直角三角形，然后证明两直角三角形全等，然后根据全等三角形的对应角相等，结合图象可以证明出EF与MN垂直；第一个图中的线段EF沿直线EG折叠过去，得到的就是反例，此时有MN=EF，但是MN与EF肯定不垂直，因此小明的观点是错误的；
若MN⊥EF，则MN=EF，分别把MN和EF平移，然后根据三角函数即可得出结论．
解答：解：①若MN=EF，则必有MN⊥EF，这句话是正确的．
如图，∵EF=MN，MH=EG，
∴Rt△MHN≌Rt△EGF（HL），
∴∠EFG=∠MNH，
又∵∠EFG=∠ELM，
∴∠NMH+∠MNH=∠NMH+∠EFG=∠NMH+∠ELM=90°，
∴∠MOL=90°，
即MN⊥EF．
第一个图中的线段EF沿直线EG折叠过去，得到的就是反例，此时有MN=EF，但是MN与EF肯定不垂直，因此小明的观点是错误的；

②若MN⊥EF，则MN=EF这句话是对的；
分别把MN和EF平移，如图，
∠AMN=∠AGD=∠BFE=∠DHC，
MN=GD=AD÷sin∠AGD，
EF=HC=CD÷sin∠DHC，
因此MN=EF．
故选B．
点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，本题如图所示起到关键的作用，没有图形的限制，则第一种情况不一定正确．