Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象经过点M（1，-2）、N（-1，6）．
（1）求二次函数y=x²+bx+c的关系式；
（2）把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0），（4，0），BC=5．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离．

Answer 1

分析：（1）由于抛物线中只有b，c两个待定系数，因此可直接将M、N两点的坐标代入抛物线的解析式中求出抛物线的解析式．
（2）先在直角三角形ABC中，求出AC的长．由于△ABC是向右平移，因此C点的纵坐标不变，可将C点的纵坐标代入抛物线的解析式中，得出第一象限内点的横坐标，即为平移后C点的横坐标，然后让C点的横坐标减去OA的长即可得出平移的距离．

解答：解：（1）∵M（1，-2），N（-1，6）在二次函数y=x²+bx+c的图象上，
∴

1+b+c=-2 1-b+c=6

解得

b=-4 c=1

二次函数的关系式为y=x²-4x+1．

（2）Rt△ABC中，AB=3，BC=5，
∴AC=4，
4=x²-4x+1，x²-4x-3=0，
解得x=

4± 16+12

2

=2±

7

（负值不合题意舍去）
∵A（1，0），
∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移（1+

7

）个单位．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形平移变换、勾股定理等知识点．
（2）中弄清平移前后C点的纵坐标不变是解题的关键．