Question

20．已知一次函数y₁=x+m的图象与反比例函数y₂=$\frac{6}{x}$的图象交于A，B两点，当x＞1，时，y₁＞y₂；当0＜x＜1时，y₁＜y₂．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如果双曲线上有一点C，使△ABC是直角三角形，那么符合条件的点C有4个，如果点C在双曲线的第一象限上，且∠ACB=90°，求Rt△ABC外接圆的半径．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知A的横坐标为1，代入反比例函数y₂=$\frac{6}{x}$得出A的坐标，代入一次函数y₁=x+m即可求得m的值，即可求得一次函数的解析式；
（2）联立直线与反比例函数解析式得出关于x、y的方程组，解方程组即可得出A、B两点的坐标，根据C点在反比例函数图象上，设出点C的坐标为（x，$\frac{6}{x}$），分三种情况考虑△ABC是直角三角形，利用“两直线垂直斜率之积为-1”求出x的值，由此即可得知点C的个数，再由“直角三角形的外接圆圆心为直角三角形的斜边中点”以及两点间的距离公式得出结论．

解答 解：（1）根据题意：A点的横坐标为1，
把x=1代入y₂=$\frac{6}{x}$得，y₂=6，
∴A（1，6），
把A（1，6）代入y₁=x+m得，6=1+m，
解得：m=5，
∴一次函数的解析式为y=x+5．
（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+5}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴B（-6，-1），
设C（x，$\frac{6}{x}$）．
△ABC是直角三角形分三种情况：
①当AC⊥AB时，有$\frac{\frac{6}{x}-6}{x-1}$•1=-1，
解得：x=6；
②当AC⊥AB时，有$\frac{\frac{6}{x}-（-1）}{x-（-6）}$•1=-1，
解得：x=-1；
③当AC⊥BC时，有$\frac{\frac{6}{x}-6}{x-1}$•$\frac{\frac{6}{x}-（-1）}{x-（-6）}$=-1，
解得：x=±$\sqrt{6}$．
综上可知符合题意的点C有4个．
故答案为：4．
∵直角三角形的外接圆圆心为斜边的中点，
∴Rt△ABC外接圆的半径为$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（-6-1）^{2}+（-1-6）^{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、解分式方程、垂直的性质、直角三角形的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）根据垂直的性质得出关于x的方程．本题属于中档题，难道不大，但较繁琐，尤其是第（2）问中寻找点C的个数时，时常会落掉几种情况，这就需要孩子们在日常练习中注意考虑问题的全面性．