Question

6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=15cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以1cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F，问：点P运动多少时间内，△PEC与△QFC相似且相似比为$\frac{4}{3}$？请说明理由．

Answer 1

分析 分三种情况：①P在AC上，Q在BC上．②P、Q都在AC上时，③Q在AC上，P在BC上，分别列出方程求解即可．

解答 解：点P运动4s或$\frac{28}{5}$时，△PEC与△QFC相似且相似比为$\frac{4}{3}$．理由如下，
分三种情况：
①P在AC上，Q在BC上，如图1所示：作PE⊥l于E，QF⊥l于F，
则∠PEC=∠QFC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠ACB=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠2，
∴△PEC∽△CFQ，
∴$\frac{PC}{CQ}=\frac{4}{3}$，
即$\frac{8-t}{15-3t}=\frac{4}{3}$，
解得：t=4；
②P、Q都在AC上时，由△PEC∽△QFC，可得$\frac{8-t}{3t-15}$=$\frac{4}{3}$，
解得t=$\frac{28}{5}$
③Q在AC上，P在BC上，如图2所示：
由①知，△CEP∽△QFC，
∴$\frac{PC}{CQ}$=$\frac{4}{3}$，
即$\frac{t-8}{3t-15}=\frac{4}{3}$，
解得：t=4（不合题意，舍去）；
综上所述：点P运动4s或$\frac{28}{5}$s时，△PEC与△QFC相似且相似比为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边的比等于相似比是解决问题的关键，注意进行分类讨论．