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如图,边长为1的等边△OAB,顶点A在x轴上,将△OAB绕点O顺时针旋转30°,使精英家教网点A落在抛物线y=ax2(a<0)的图象上.
(1)求抛物线y=ax2的表达式;
(2)等边△OAB继续绕点O顺时针旋转,使点A再次落在抛物线y=ax2的图象上.写出这个点的坐标和最少旋转的度数.
分析:(1)旋转角为30°是特殊角,此时OA1=OA=1,过A1作x轴的垂线,解直角三角形可得A1的坐标,再代入抛物线y=ax2可求解析式;
(2)根据抛物线的对称性,可猜想等边△OAB继续绕点O顺时针旋转,使点A再次落在抛物线y=ax2的图象上时,OA与x轴负半轴夹角为30°,再次旋转120°,此时点A与A1关于y轴对称.
解答:解:(1)∵△OAB绕点O顺时针旋转30°,A(1,0),则A1
3
2
,-
1
2
),
x=
3
2
y=-
1
2
代入y=ax2
a=-
2
3

y=-
2
3
x2


(2)等边△OAB继续绕点O顺时针旋转,使点A再次落在抛物线y=ax2的图象,这时旋转后点A坐标为A2(-
3
2
,-
1
2
),
旋转角为∠A2OA1=120°.
点评:本题考查了坐标系里的旋转问题,抛物线的对称性问题,充分体现了形数结合的数学思想.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,边长为2的等边三角形OAB的顶点A在x轴的正半轴上,B点位于第一象限,将△OAB绕点O顺时针旋转30°后,恰好点A落在双曲线y=
kx
(x>0)上,如果等边三角形OAB的A点再次落在双曲线上,那么应继续至少按顺时针旋转
 
度后.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,边长为4的等边三角形ABC内接于⊙O,直线EF经过边AC,BC的中点,交⊙O于D、G两点.
(1)求证:△CED≌△CFG;
(2)设ED=a,EB=b,问:在线段EF上是否存在点M,EM的长m能使
x=a
y=b
是方程组
2(
5
+1)x-3
3
y=m2+p-8
(
5
+1)x-
2
3
3
y=m-2p
的解?若存在,求二次函数y=px2-2px+
p+pm
m
的最大值或最小值;若不存在,说明理由.

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如图,边长为2的等边△ABC,射线AB上有一点动P(P不与点A、点B重合),以PC为边作等边△PDC,点D与点A在BC同侧,E为AC中点,连接AD、PE、ED.

(1)试探讨四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)当点P在线段AB上运动,(不与点A、点B重合),若BP=x,四边形APED的面积是否为定值呢?请说明理由.
(3)在第(2)问的条件下,若BP=x,△PDE的面积为y,求出y与x之间的函数关系式,并求出△PDE的面积的最小值,及取得最小值时x的取值.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(1997•南京)已知:如图,边长为2的等边三角形ABC,延长BC到D,使CD=BC,延长CB到E,使BE=CB,求△ADE的周长.

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(2013•福州质检)如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上的一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF.则在点E运动过程中,DF的最小值是
1.5
1.5

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