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    （2012•北塘区一模）已知抛物线的顶点坐标为(
    5
    2
    ，-
    27
    16
    )    ，且经过点C（1，0），若此抛物线与x轴的另一交点为点B，与y轴的交点为点A，设P、Q分别为AB、OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为每秒1个单位，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）
    （1）求此抛物线的解析式并求出P点的坐标（用t表示）；
    （2）当△OPQ面积最大时求△OBP的面积；
    （3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
    （4）△OPQ是否可能为等边三角形？若可能请求出t的值；若不可能请说明理由，并改变点Q的运动速度，使△OPQ为等边三角形，求出此时Q点运动的速度和此时t的值．
    分析：（1）将抛物线的解析式设为顶点式，再将C点坐标代入该解析式中，即可求得待定系数的值．求解P点坐标时，可过P作y轴的垂线，通过构建的相似三角形求出P点的横、纵坐标．
    （2）在（1）中求得P点坐标，以OQ为底、P点纵坐标为高求出关于△OPQ的面积和t的函数关系式，根据所得函数的性质求出△OPQ的面积最大值时，对应的t值；由此能得到AP的长，△OPB和△AOB中，若以BP、AB为底，那么它们的高相同，底的比就是面积的比，由此得解．
    （3）此题分两种情况：∠OQP=90°或∠OPQ=90°；第一种情况，PQ∥y轴，利用相应的比例线段即可求出t的值；后一种情况可利用勾股定理来进行求解．
    （4）若△OPQ为等边三角形，Q点运动速度必须满足OQ等于P点横坐标的2倍（P点在线段OQ的中垂线上），然后根据等边三角形的性质求出对应的t值．
    解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-
    5
    2
    ）2-
    27
    16
    ，代入点（1，0），得：a=
    3
    4
    ；
    ∴y=
    3
    4
    （x-
    5
    2
    ）2-
    27
    16
    ．
    令y=0得：x1=4，x2=1，∴B（4，0）．
    令x=0得：y=3，∴A（0，3），AB=5．
    如右图，过点P作PM⊥y轴，垂足为点M，则：
    AM
    AO
    =
    PM
    OB
    =
    AP
    AB
    ，得：
    AM
    3
    =
    PM
    4
    =
    t
    5

    ∴AM=
    3
    5
    t，PM=
    4
    5
    t
    ∴P（
    4
    5
    t，3-
    3
    5
    t）．

    （2）如图，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，
    S△OPQ=
    1
    2
    OQ•PN=
    1
    2
    t•（3-
    3
    5
    t）=
    3
    2
    t-
    3
    10
    t2=-
    3
    10
    （t-
    5
    2
    ）2+
    15
    8

    ∴当t=
    5
    2
    时，S△OPQ最大=
    15
    8
    ．
    此时OP为AB边上的中线
    ∴S△OBP=
    1
    2
    S△AOB=
    1
    2
    ×
    1
    2
    ×3×4=3．

    （3）若∠OQP=90°，则
    BP
    AB
    =
    BQ
    BO
    ，
    ∴
    5-t
    5
    =
    4-t
    4
    ，得t=0（舍去）．
    若∠OPQ=90°，则OP2+PQ2=OQ2，
    ∴（3-
    3
    5
    t）2+（
    4
    5
    t）2+（3-
    3
    5
    t）2+（
    1
    5
    t）2=t2
    解得：t1=3，t2=15（舍去）．
    当t=3时，△OPQ为直角三角形．

    （4）∵OP2=（3-
    3
    5
    t）2+（
    4
    5
    t）2，PQ2=（3-
    3
    5
    t）2+（
    1
    5
    t）2；
    ∴OP≠PQ，
    ∴△OPQ不可能是等边三角形．
    设Q点的速度为每秒k个单位时，△OPQ为等边三角形
    ∴kt=2•
    4
    5
    t，得 k=
    8
    5

    ∵PN=
    		3
    2
    OP=
    		3
    2
    •
    8
    5
    t=
    4
    		3
    5
    t
    ∴3-
    3
    5
    t=
    4
    		3
    5
    t，得t=
    20
    		3
    -15
    13
    ．
    点评：该题的难度较大，综合了二次函数、直角三角形与等边三角形的判定、图形面积的求法等知识．在解答（3）题时，要注意直角三角形的直角并没有确定，要分类进行讨论．
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    1
    3
    x+b经过点M（0，
    1
    4
    ），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1=d（0＜d＜1），当d为（　　）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．

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    （2012•北塘区一模）2011年末中国总人口134735万人，用科学记数法表示为
    1.35×105
    1.35×105
    万人．（保留三位有效数字）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•北塘区一模）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，正好得到一个完整的菱形．要使得这个菱形的一个锐角为60°，则剪口与折痕所成的角α的度数应为
    30°或60°
    30°或60°
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•北塘区一模）（1）(-1)2012-|-7|+
    		9
    ×(3-π)0+cos60°    ；
    （2）先化简分式，再求值：
    x+1
    x
    ÷(x-
    1+x2
    2x
    )    ，其中x=3．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•北塘区一模）某班师生组织植树活动，上午8时从学校出发，到植树地点后原路返校，如图为师生离校路程s与时间t之间的图象．请回答下列问题：

    （1）问师生何时回到学校？
    （2）如果运送工具的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进，早半个小时到达植树地点，请在图中，画出该三轮车离校路程s与时间t之间的图象，并结合图象直接写出三轮车追上师生时离学校的路程；
    （3）如果师生骑自行车上午8时出发，到植树地点后，植树需2小时，要求13时至14时之间返回学校，往返平均速度分别为每小时8km、6km．试通过计算说明植树点选在距离学校多远较为合适．

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