Question

3．抛物线y=ax²+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，-3）、B（4，0），①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，在（1）中的抛物线解析式不变的条件下，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点，点点P运动时，OE+OF是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；
②根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标；
（2）作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am²+c），A（-t，0），B（t，0），可表示出OE、OF的长，可得答案．

解答 解：
（1）①将P（1，-3），B（4，0）代入y=ax²+c，得$\left\{\begin{array}{l}{16a+c=0}\\{a+c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{5}}\\{c=-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{16}{5}$；
②如图1，

当点D在OP左侧时，
由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，
∴D与P关于y轴对称，且P（1，-3），
∴D（-1，-3）；
当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G．
作PH⊥OB于点H，则OH=1，PH=3．
∵∠DPO=∠POB，
∴PG=OG．
设OG=x，则PG=x，HG=x-1．
在Rt△PGH中，由x²=（x-1）²+3²，得x=5．
∴点G（5，0）．
∴直线PG的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{15}{4}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}}\\{y=\frac{1}{5}{x}^{2}-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{11}{4}}\\{y=-\frac{27}{16}}\end{array}\right.$，．
∵P（1，-3），
∴D（$\frac{11}{4}$，-$\frac{27}{16}$）．
∴点D的坐标为（-1，-3）或（$\frac{11}{4}$，-$\frac{27}{16}$）．

（2）点P运动时，OE+OF是定值，理由如下：
如图2，作PQ⊥AB于Q点，

设P（m，am²+c），A（-t，0），B（t，0），则at²+c=0，c=-at²．
∵PQ∥OF，
∴$\frac{PQ}{OF}$=$\frac{BQ}{BO}$，
∴OF=$\frac{PQ•BO}{BQ}$=-$\frac{-（a{m}^{2}+c）t}{t-m}$=$\frac{（a{m}^{2}-a{t}^{2}）t}{m-t}$═amt+at²．
同理OE=-amt+at²，
∴OE+OF=2at²=-2c=2OC=$\frac{16}{5}$．

点评 本题为二次函数综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、函数图象的交点、方程思想等知识．在（1）①中注意利用待定系数法求函数解析式，在②利用函数值相等的点关于对称轴对称得出D点坐标是解题关键；在（2）用平行线分线段成比例表示出OE、OF的长是解题关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．