Question

【题目】已知关于的一元二次方程

(Ⅰ)求证:方程有两个不相等的实数根；

(Ⅱ)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根；

(Ⅲ)求以(Ⅱ)中所得两根为边长的等腰三角形的周长.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ) 3；(Ⅲ)7.

【解析】

（Ⅰ）根据关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；

（Ⅱ）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根，分两种情况进行讨论解答即可；

(Ⅲ)根据三角形三边的关系讨论即可.

（Ⅰ）证明：∵△=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，

∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4≥4，

即△≥4，

∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；

（Ⅱ）根据题意，得12-1×（m+2）+（2m-1）=0，

解得，m=2，

则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3；

(Ⅲ)①当该等腰三角形的腰为1、底边为3时，

∵1+1＜3，

∴构不成三角形；

②当该等腰三角形的腰为3、底边为1时，等腰三角形的周长=3+3+1=7．