操作:如图1.正方形ABCD中.AB=a.点E是CD边上一个动点.在AD上截取AG=DE.连接EG.过正方形的中线O作OF⊥EG交AD边于F.连接OE.OG.EF.AC．探究:在点E的运动过程中:(1)猜想线段OE与OG的数量关系?并证明你的结论,(2)∠EOF的度数会发生变化吗?若不会.求出其度数.若会.请说明理由．应用:(3)当a=6时.试求出△DEF的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．操作：
如图1，正方形ABCD中，AB=a，点E是CD边上一个动点，在AD上截取AG=DE，连接EG，过正方形的中线O作OF⊥EG交AD边于F，连接OE、OG、EF、AC．
探究：
在点E的运动过程中：
（1）猜想线段OE与OG的数量关系？并证明你的结论；
（2）∠EOF的度数会发生变化吗？若不会，求出其度数，若会，请说明理由．
应用：
（3）当a=6时，试求出△DEF的周长，并写出DE的取值范围；
（4）当a的值不确定时：
①若$\frac{AF}{CE}$=$\frac{36}{25}$时，试求$\frac{OF}{OE}$的值；
②在图1中，过点E作EH⊥AB于H，过点F作FG⊥CB于G，EH与FG相交于点M；并将图1简化得到图2，记矩形MHBG的面积为S，试用含a的代数式表示出S的值，并说明理由．

分析（1）由正方形的性质得到△AOG≌△DOG即可；
（2）由△AOG≌△DOG得到结论，再结合同角或等角的余角相等求出∠EOF；
（3）判断出OF垂直平分EG，计算周长即可；
（4）先判断出△AOF∽△CEO，得出$\frac{{S}_{△AOF}}{{S}_{△CEO}}=\frac{AF}{CE}$，求出$\frac{OF}{OE}$．

解答解：（1）OE=OG，
理由：如图1，

连接OD，在正方形ABCD中，
∵点O是正方形中心，
∴OA=OD，∠OAD=∠ODC=45°，
∵AG=DE，
∴△AOG≌△DOG，
∴OE=OG，
（2）∠EOF的度数不会发生变化，
理由：由（1）可知，△AOG≌△DOE，
∴∠DOE=∠AOG，
∵∠AOG+∠DOG=90°，
∴∠DOE+∠DOG=90°，
∴∠DOE=∠AOG，
∵∠EOG=90°，
∵OE=OG，OF⊥EG，
∴∠EOF=45°，
∴恒为定值．
（3）由（2）可知，OE=OG，OF⊥EG，
∴OF垂直平分EG，
∴△DEF的周长为DE+EF+DF=AG+FG+DF=AD，
∵a=6，
∴△DEF的周长为AD=a=6，（0＜DE＜3）
（4）①如图2，

∵∠EOF=45°，
∴∠COE+AOF=135°
∵∠OAF=45°，
∴∠AFO+∠AOF=135°，
∴∠COE=∠AFO，
∴△AOF∽△CEO，
∴$\frac{{S}_{△AOF}}{{S}_{△CEO}}=（\frac{0F}{OE}）^{2}$，
∵O到AF与CE的距离相等，
∴$\frac{{S}_{△AOF}}{{S}_{△CEO}}=\frac{AF}{CE}$，
∴（$\frac{OF}{OE}$）²=$\frac{AF}{CE}=\frac{36}{25}$，
∵$\frac{OF}{OE}$＞0，
∴$\frac{OF}{OE}$=$\frac{6}{5}$，
②猜想：S=$\frac{1}{2}$a²，
理由：如图3，

由（1）可知，△AOF∽△CEO，
∴$\frac{AF}{OC}=\frac{OA}{CE}$，
∴AF×CE=OA×OC，
∵EH⊥AB，FG⊥CB，∠B=90°，
∴S=AF×CE，
∴S=OA×OC=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$×$\frac{\sqrt{2}a}{2}$=$\frac{1}{2}$a²．

点评此题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是角度的计算．

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