Question

17．如图，E为正方形ABCD的边BC上一点，CG平分∠DCF，连接AE，过点E作EG⊥AE交CG于点G．求证：AE=EG．

Answer 1

分析 在AB上截取BM=BE，证明△AME≌△ECG即可．

解答 证明：在AB上截取BM=BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠DCF=90°，
∴AM=CE，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°，
∵CG平分∠DCF，
∴∠GCF=45°，
∴∠ECG=135°，
∴∠AME=∠ECG，
∵EG⊥AE，
∴∠AEB+∠CEG=90°，
又∵∠MAE+∠AEB=90°，
∴∠MAE=∠CEG，
在△AME和△ECG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEG}\\{AM=CE}\\{∠AME=∠ECG}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECG（ASA），
∴AE=EG．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，解题的关键是：添加辅助线构造全等三角形．