【题目】如图,在菱形ABCD中,∠DAB=45°,AB=2,P为线段AB上一动点,且不与点A重合,过点P作PE⊥AB交AD于点E,将∠A沿PE折叠,点A落在直线AB上点F处,连接DF、CF,当△CDF为等腰三角形时,AP的长是_____.
【答案】或1或1+或
【解析】
如图1,当DF=CD时,有一个解,如图2,当CF=CD=2时,有两个解,如图3中,当FD=FC时有一个解,根据折叠变换的性质和直角三角形的性质分别求出即可.
解:如图1,当DF=CD时,点F与A重合或在点F′处.
∵在菱形ABCD中,AB=2,
∴CD=AD=2,
作DN⊥AB于N,
由折叠的性质得:此时点P与N重合,
在Rt△ADN中,∵AD=2,∠DAN=45°,DN=AN=NF′=,
∴AP=;
如图2,当CF=CD=2时,点F与B重合或在F′处,
∵点F与B重合,
∴PE是AB的垂直平分线,
∴AP=AB=1;
点F落在F'处时,AF'=2+2,
∴AP=AF'=1+;
如图3中,当FD=FC时,
AF=+1,
∴AP=AF=.
综上所述:当△CDF为等腰三角形时,AP的长为或1或1+或.
故答案为:或1或1+或
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,且AB =6,C是⊙O上一点,D是的中点,过点D作⊙O的切线,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD.
(l)求证:AF⊥EF;
(2)填空:
①当BE= 时,点C是AF的中点;
②当BE= 时,四边形OBDC是菱形,
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【题目】某商店用1000元人民币购进某种水果销售,过了一周时间,又用2400元人民币购进这种水果,所购数量是第一次购进数量的2倍,但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元.
(1)该商店第一次购进这种水果多少千克?
(2)假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售,最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售.若两次购进的这种水果全部售完,利润不低于1240元,则每千克这种水果的标价至少是多少元?
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【题目】如图,在中,,,.点P从点A出发,以每秒个单位长度的速度向终点C运动.点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向终点A运动.连结PQ,将线段PQ绕点Q顺时针旋转得到线段QE,以PQ、QE为边作正方形PQEF.设点P运动的时间为t秒.
(1).点P到边AB的距离为______(用含t的代数式表示).
(2).当时,求t的值.
(3).连结BE.设的面积为S,求S与t之间的函数关系式.
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【题目】某校九年级某班开展数学活动,小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆,小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°,小军站在D点测得旗杆顶端E点的仰角为30°.已知小明和小军的距离BD=6 m,小明的身高AB=1.5 m,小军的身高CD=1.75 m,求旗杆的高EF.(结果精确到0.1,参考数据:≈1.41,≈1.73)
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,抛物线交x轴于A、C两点,与直线y=x﹣1交于A、B两点,直线AB与抛物线的对称轴交于点E.
(1)求抛物线的解板式.
(2)点P在直线AB上方的抛物线上运动,若△ABP的面积最大,求此时点P的坐标.
(3)在平面直角坐标系中,以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出符合条件点D的坐标.
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【题目】(12分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.
(1)求线段CD的长;
(2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S△CPQ∶S△ABC=9∶100?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由;
(3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?
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