Question

10．我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a 的“完美指标”．如10的“完美指标”是（1+2+5）÷10=$\frac{4}{5}$．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是（1+2+4）÷8=$\frac{7}{8}$，10的“完美指标”是$\frac{4}{5}$，因为$\frac{7}{8}$比$\frac{4}{5}$更接近1，所以我们说8比10更完美．
（1）阅读上述材料，分别求12和17的“完美指标”．
（2）比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16．（只要求写出答案）

Answer 1

分析 （1）根据定义的新的运算意义，分别找出12和17的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，列式即可解答；
（2）根据“完美指标”的意义知道，自然数的真因数越多，此数越完美；因为在11-19的数中，11、13、17、19是质数，真因数只有1，所以先排除此三个数，再分别找出12、14、15、16、18的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，分别求出“完美指标”．

解答 解：（1）12的正因数有：1，2，3，4，6，12，其中1，2，3，4，6是12的真因数，
∴完美指标是：（1+2+3+4+6）÷12=$\frac{4}{3}$，
17的正因数有：1，17，其中1是17的真因数，
∴完美指标是：1÷17=$\frac{1}{17}$；

（2）在11-19的数中，11、13、17、19是质数，真因数只有1，所以先排除这三个数．
12的正因数有：1、2、3、4、6、12，其中1、2、3、4、6是真因数，
完美指标：（1+2+3+4+6）÷12=$\frac{4}{3}$≈1.33，
14的正因数有：1、2、7、14，其中1、2、7是真因数，
完美指标：（1+2+7）÷14=$\frac{5}{7}$≈0.71，
15的正因数有：1、3、5、15，其中1、3、5是真因数，
完美指标：（1+3+5）÷15=$\frac{3}{5}$=0.6，
16的正因数有：1、2、4、8、16，其中1、2、4、8是真因数，
完美指标：（1+2+4+8）÷16=$\frac{15}{16}$≈0.94，
18的正因数有：1、2、3、6、9、18，其中1、2、3、6、9是真因数，
完美指标：（1+2+3+6+9）÷18=$\frac{7}{6}$≈1.17，
由以上所求的完美指标知道，16的完美指标最接近1，
所以，比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16．

点评 本题主要考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是根据所给出的新的运算方法，即完美指标的意义及计算方法，找出对应的数，列式解决问题．