Question

如图1，矩形ABCD中，AB=10，BC=8，E是AB边上一点，过E作EF⊥CE，交AD于点F．
（1）求证：△EFA∽△CEB；
（2）如果AE=6，求AF的长；
（3）在（2）条件下，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，如图2，连接CF，问在y轴上是否存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与△CEF相似？如果存在，写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵已知矩形ABCD和EF⊥CE，
∴∠A=∠B=90°，∠CEF=90°，
∴∠BEC+∠AEF=∠AFE+∠AEF=90°，
∴∠BEC=∠AFE，
∴△EFA∽△CEB；

（2）解：已知AE=6，AB=10，BC=8，
∴BE=4，
∵△EFA∽△CEB，
∴=，
∴=，
∴AF=3；

（3）解：存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与△CEF相似，
因为由（1）得出∠PAB=∠FEC=90°，
在直角三角形AFE 和EBC中由勾股定理得：
FE===3，
EC===4，
①若△BAP∽△CEF，得：=
∴=，
∴PA=7.5，
所以点P的坐标为：（0，±7.5）．
②若△PAB∽△CEF，得：=，
即=，
∴PA=，
所以点P坐标为（0，±）．
分析：（1）由已知矩形ABCD和EF⊥CE，得∠A=∠B=90°，∠CEF=90°，则∠BEC+∠AEF=∠AFE+∠AEF=90°，所以∠BEC=∠AFE，从而证出△EFA∽△CEB；
（2）由AE=6，AB=10，BC=8，则BE=4，所以由（1）证得的△EFA∽△CEB求出AF的长；
（3）存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与△CEF相似，因为由已知得∠PAB=∠FEC=90°，若有一点P，使=，则△EFA∽△CEB；由勾股定理可求出FE和EC，根据相似可求出点P的坐标．
点评：此题考查的知识点相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质，关键是熟练运用好矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质．