Question

15．如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B=60°，BC=6，求四边形ADCE的面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；
（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S=$\frac{1}{2}$AC•DE进行解答．

解答 （1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥DB，且EC=DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD=DB=CD．
∴EC=AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠AOD=∠ACB．
∵∠ACB=90°，
∴∠AOD=∠ACB=90°．
∴平行四边形ADCE是菱形；

（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B=60°，BC=6，
∴AD=DB=CD=6．
∴AB=12，由勾股定理得$AC=6\sqrt{3}$．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE=BC=6．
∴${S_{菱形ADCE}}=\frac{AC•ED}{2}=\frac{{6\sqrt{3}×6}}{2}=18\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．