Question

【题目】为了响应国家“自主创业”的号召，某大学毕业生开办了一个装饰品商店，采购了一种今年刚上市的饰品进行了30天的试销，购进价格为20元/件，销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间的关系如图（1）所示，销售价格Q（元/件）与销售时间x（天）之间的关系如图（2）所示．

（1）根据图象直接写出：日销售量P（件）与销售时间x（天）之间的函数关系式为　 　；销售单价

Q（元/件）与销售时间x（天）的函数关系式为　 　．（不要求写出自变量的取值范围）

（2）写出该商品的日销售利润W（元）和销售时间x（天）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）

（3）请问在30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润．

Answer 1

【答案】（1）P=﹣2x+80，Q=x+30；（2）W=﹣x2+20x+800；（3）在30天的试销中，第10天的日销售利润最大，最大利润为900元

【解析】试题分析：（1）设P＝kx＋80，将（30，20）代入可求出k的值，得出日销售量P（件）与销售时间x（天）之间的函数关系式；设Q＝mx＋30，将（30，45）代入可求出m的值，得出Q（元/件）与销售时间x（天）的函数关系式；

（2）根据销售问题中的基本等量关系：销售利润＝日销售量×（一件的销售价－一件的进价），建立函数关系式；

（3）将（2）中函数关系式配方可得其顶点式，结合自变量x的范围，根据二次函数的性质可得函数的最值情况．

试题解析：

解：（1）设P＝kx＋80，将（30，20）代入，

得20＝30k＋80，解得k＝﹣2，

所以日销售量P（件）与销售时间x（天）之间的函数关系式为P＝﹣2x＋80；

设Q＝mx＋30，将（30，45）代入，

得45＝30m＋30，解得m＝，

所以Q（元/件）与销售时间x（天）的函数关系式为Q＝x＋30．

故答案为P＝﹣2x＋80，Q＝x＋30；

（2）根据题意，得W＝P（Q﹣20）＝（﹣2x＋80）[（x＋30）﹣20]＝﹣x2＋20x＋800（1≤x≤30，且x为正整数），

即W＝﹣x2＋20x＋800；

（3）∵W＝﹣x2＋20x＋800＝﹣（x﹣10）2＋900，

∴当x＝10时，W取最大值为900．

∴在30天的试销中，第10天的日销售利润最大，最大利润为900元．