Question

13、如图所示，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是

AE=AF或AC⊥EF或∠EAC=∠ECA

．（只要写出一个即可，图中不能再添加别的“点”或“线”）

Answer 1

分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．

解答：证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠AEB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=EAD，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BF，
同理ED=CD，
∵AD=BC，AB=CD，
∴AE=CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，
则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．
故答案为：AC⊥EF（或AE=AF或∠EAC=∠ECA）．

点评：本题考查了菱形的判定，利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解．