Question

17．在平面直角坐标系中，反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象上有一点A（a，3），过点A作AB⊥x轴于点B，将点B沿x轴正方向平移2个单位长度得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数于点D，CD=$\frac{3}{2}$，直线AD与x轴交于点M，与y轴交于点N．
（1）用含a的式子表示点D的横坐标为：a+2；
（2）求a的值和直线AD的函数表达式；
（3）请判断线段AN与MD的数量关系，并说明理由；
（4）若一次函数y₁=k₁x+b₁经过点（10，9），与双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）交于点P，且该一次函数y₁的值随x的增大而增大，请确定P点横坐标n的取值范围（不必写出过程）

Answer 1

分析 （1）由A的坐标可求得OB，结合平移可求得OC，则可求得D点横坐标；
（2）把A、D的坐标代入反比例函数解析式可求得a和m的值，则可求得A、D的坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；
（3）由直线AD的解析式可求得M、N的坐标，利用勾股定理可求得AN和DM的长，可求得AN=DM；
（4）结合图象可知当直线与x垂直时n的值最大，当直线与x轴平行时n的值最小，可求得n的取值范围．

解答 解：
（1）∵A（a，3），AB⊥x轴于点B，
∴OB=a，
∵将点B沿x轴正方向平移2个单位长度得到点C，
∴OC=OB+BC=2+a，即D点的横坐标为a+2，
故答案为：a+2；

（2）∵CD∥y轴，且CD=$\frac{3}{2}$，
∴D（a+2，$\frac{3}{2}$），
∵A、D都在反比例函数图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=3a}\\{m=\frac{3}{2}（a+2）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{m=6}\end{array}\right.$，即a的值为2，
∴A（2，3），D（4，$\frac{3}{2}$），
设直线AD的函数表达式为y=kx+b，
把A、D的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{4k+b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AD的函数表达式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$；

（3）结论：AN=MD，
理由：在y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=$\frac{9}{2}$，
∴M（6，0），N（0，$\frac{9}{2}$），
∵A（2，3），D（4，$\frac{3}{2}$），
∴AN=$\sqrt{（2-0）^{2}+（3-\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，MD=$\sqrt{（6-4）^{2}+（0-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴AN=MD；

（4）如图，当直线与x垂直时n的值最大，当直线与x轴平行时n的值最小，

当直线垂直x轴时，则可知E点横坐标为10，即此时n的值为10，
当直线平行x轴时，则F点的纵坐标为9，由（1）可得反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$，当y=9时，可解得x=$\frac{2}{3}$，即P点的横坐标为$\frac{2}{3}$，即此时n的值为$\frac{2}{3}$，
∵一次函数y₁的值随x的增大而增大，
∴直线在直线P₁E和直线P₂F之间，
∴n的取值范围为$\frac{2}{3}$＜n＜10．

点评 本题为反比例函数与一次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、平移的性质、待定系数法、勾股定理、方程思想及数形结合思想等知识．在（1）中注意利用平移求得OC的长是解题的关键，在（2）注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式求得A、D的坐标是解题的关键，在（3）中求得M、N的坐标是解题的关键，在（4）中确定出P点的两个界点位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．