Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC+8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；
（1）求证：△ABP∽△PCM；
（2）设BP=x，CM=y，求y与x的函数解析式；
（3）当△APM为等腰三角形时，求PB的长．

Answer 1

分析 （1）利用三角形外角性质得∠APC=∠B+∠BAP，而∠APM=∠B，则可判断∠BAP=∠CPM，加上∠B=∠C，于是可判断△ABP∽△PCM；
（2）PC=8-x，利用△ABP∽△PCM得到x：y=5：（8-x），于是得到y与x的关系式；
（3）讨论：当AP=AM时，则∠APM=∠AMC=∠B，而∠AMC＞∠C，不合题意舍去；当PA=PM时，易得△ABP≌△PCM，所以BP=CM，即x=y，所以-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x=x，然后解方程可得到此时PB的长；
当MA=MP时，则∠APM=∠PAM，所以∠APM=∠B=∠C，于是可证明△MAP∽△ABC，利用相似比得到（6-y）：6=（8-x）：8，即4y=3x，加上（2）的结论得到4（-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x）=3x，然后解方程求出x即可得到PB的长．

解答 （1）证明：∵∠APC=∠B+∠BAP，
即∠APM+∠CPM=∠B+∠BAP，
而∠APM=∠B，
∴∠BAP=∠CPM，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCM；
（2）解：BP=x，则PC=8-x，
∵△ABP∽△PCM，
∴PB：CM=AB：PC，即x：y=5：（8-x），
∴y=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x；
（3）解：当AP=AM时，则∠APM=∠AMC=∠B，而∠AMC＞∠C，不合题意舍去；
当PA=PM时，
∴△ABP≌△PCM，
∴BP=CM，即x=y，
∴-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x=x，解得x₁=0，x₂=3，此时PB的长为3；
当MA=MP时，
∴∠APM=∠PAM，
∵∠APM=∠B=∠C，
∴△MAP∽△ABC，PA=PC=8-x
∴MA：AB=PA：BC，即（6-y）：6=（8-x）：8，
∴4y=3x，
即4（-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x）=3x，
整理得4x²-17x=0，解得x₁=0，x₂=$\frac{17}{4}$，此时PB的长为$\frac{17}{4}$，
综上所述，PB的长为3或$\frac{17}{4}$．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要利用相似进行几何计算．也考查了等腰三角形的判定．