Question

1．如图，四边形ABCD是直角梯形，∠C=90°，AO⊥BC于点O．A、B、C、D、O分别在边长为I的小正方形网格上．以O为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）AB=5（直接写出）；
（2）画出将△AOB饶点O逆时针旋转点90°所得到的△A₁OB₁，并求点A到点A₁所走的路线长：
（3）求∠ABD的正切值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，△OAB是直角三角形，有勾股定理求AB的长；
（2）因为旋转不改变图形的大小与形状，所以找出旋转后的对应点即可；
（3）过点A作BD的垂线构造三角形后设法求∠ABD的正切值．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，
∵AB²=OA²+OB²
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{25}$=5．
（2）如下图所示：

图中△A₁ OB₁ 是将△AOB饶点O逆时针旋转点90°所得到的．
求点A到点A₁所走的路线长=$\widehat{A{A}_{1}}$=$\frac{1}{4}$×2π×4=2π
（3）由图可知：
∵AB=AD=5，
∴∠ABD=∠ADB
∴tan∠ABD=tan∠ADB=$\frac{AE}{AD}$
∵四边形ABCD是直角梯形，∠C=90°，
∴AD∥BC，
∠ADB=∠DBC
tan∠ABD=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$

点评 本题考查了图形的旋转、直角梯形的性质、三角函数等知识点，解题的关键是掌握旋转的性质及三角函数的定义．