Question

15．如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AB为直径作⊙O，交BC于D，交AC于E，DF⊥CE，垂足为F
（1）求证：DF是⊙O的切线
（2）求线段CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD、OD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则根据等腰三角形的性质得BD=CD，于是可判断OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，则DF⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线；
（2）证明△CED∽△CBA，然后利用相似比可求出CE的长．

解答 （1）证明：连接AD、OD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
而AO=BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
而DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠CED=∠B，∠ECD=∠BCA，
∴△CED∽△CBA，
∴$\frac{CE}{CB}$=$\frac{CD}{CA}$，即$\frac{CE}{10}$=$\frac{5}{13}$，
∴CE=$\frac{50}{13}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．熟练应用相似比计算线段的长是解决（2）小题的关键．