Question

15．在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的点，连接AD、BE交于点F，设AE=m，CE=n．
（1）如图1，若AD为BC边上的中线，BE平分AD，则$\frac{m}{n}$=$\frac{1}{2}$；
（2）如图2，若△ABC为等边三角形，且BD=CE，BE平分AD，求$\frac{m}{n}$的值；
（3）如图3，若$\frac{BD}{DC}$=$\frac{3}{1}$，$\frac{m}{n}$=$\frac{8}{5}$，求$\frac{AF}{FD}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DM∥BE交AC于M．由BD=DC，DM∥BE，推出EM=MC，由AF=FD，FE∥DM，推出AE=EM，由此即可解决问题．
（2）如图2中，过点A作AM∥BC交BE的延长线于M．设AF=DF=a，AE=CD=b．想办法用a表示AE、EC即可解决问题．
（3）如图3中，作DM∥BE交AC于M．由$\frac{BD}{DC}$=$\frac{3}{1}$，DM∥BE，推出$\frac{EM}{MC}$=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{3}{1}$，设CM=k，EM=3k，则EC=4k，由$\frac{AE}{EC}$=$\frac{m}{n}$=$\frac{8}{5}$，推出AE=$\frac{32}{5}$k，由EF∥DM，得$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AE}{EM}$，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作DM∥BE交AC于M．

∵BD=DC，DM∥BE，
∴EM=MC，
∵AF=FD，FE∥DM，
∴AE=EM，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{m}{n}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为$\frac{1}{2}$．

（2）如图2中，过点A作AM∥BC交BE的延长线于M．设AF=DF=a，AE=CD=b．

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠C=60°，
在△EBC和△DAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠C=∠ABD}\\{CE=BD}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△DAB，
∴∠EBC=∠DAB，∵∠BDF=∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴BD²=DF•DA=a•2a，
∴BD=CE=$\sqrt{2}$a，
∵AM∥BC，
∴$\frac{AM}{BC}$=$\frac{AE}{EC}$，
在△AFM和△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠FBD}\\{∠AFM=∠BFD}\\{AF-DF}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△DFB，
∴AM=BD=$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}a+b}$=$\frac{b}{\sqrt{2}a}$，
∴b²+$\sqrt{2}$ab-2a²=0，
解得b=$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}a$（负根已经舍弃）．
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{m}{n}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

（3）如图3中，作DM∥BE交AC于M．

∵$\frac{BD}{DC}$=$\frac{3}{1}$，DM∥BE，
∴$\frac{EM}{MC}$=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{3}{1}$，设CM=k，EM=3k，则EC=4k，
∵$\frac{AE}{EC}$=$\frac{m}{n}$=$\frac{8}{5}$，
∴AE=$\frac{32}{5}$k，
∵EF∥DM，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AE}{EM}$=$\frac{\frac{32}{5}k}{3k}$=$\frac{32}{15}$．

点评 本题考查相似形综合题、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．