Question

在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）
（1）在图1中画图探究：
①当P为射线CD上任意一点（P₁不与C重合）时，连接EP₁；绕点E逆时针旋转90°得到线段EG₁．判断直线FG₁与直线CD的位置关系，并加以证明；
②当P₂为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP₂，将线段EP₂绕点E逆时针旋转90°得到线段EG₂．判断直线G₁G₂与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．
（2）若AD=6，tanB=，AE=1，在①的条件下，设CP₁=x，S_△P1FG1=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

解：（1）①直线FG₁与直线CD的位置关系为互相垂直．
证明：如图1，设直线FG₁与直线CD的交点为H．
∵线段EC、EP₁分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG₁，
∴∠P₁EG₁=∠CEF=90°，EG₁=EP₁，EF=EC．
∵∠G₁EF=90°-∠P₁EF，∠P₁EC=90°-∠P₁EF，
∴∠G₁EF=∠P₁EC．
∴△G₁EF≌△P₁EC．
∴∠G₁FE=∠P₁CE．
∵EC⊥CD，
∴∠P₁CE=90°，
∴∠G₁FE=90度．
∴∠EFH=90度．
∴∠FHC=90度．
∴FG₁⊥CD．
②按题目要求所画图形见图1，直线G₁G₂与直线CD的位置关系为互相垂直．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC．
∵AD=6，AE=1，tanB=，
∴DE=5，tan∠EDC=tanB=．
可得CE=4．
由（1）可得四边形EFHC为正方形．
∴CH=CE=4．
①如图2，当P₁点在线段CH的延长线上时，
∵FG₁=CP₁=x，P₁H=x-4，
∴S_△P1FG1=×FG₁×P₁H=．
∴y=x²-2x（x＞4）．
②如图3，当P₁点在线段CH上（不与C、H两点重合）时，
∵FG₁=CP₁=x，P₁H=4-x，
∴S_△P1FG1=×FG₁×P₁H=．
∴y=-x²+2x（0＜x＜4）．
③当P₁点与H点重合时，即x=4时，△P₁FG₁不存在．
综上所述，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是y=x²-2x（x＞4）或y=-x²+2x（0＜x＜4）．
分析：（1）①直线FG₁与直线CD的位置关系为互相垂直，理由为：△P₁EC按要求旋转后得到的△G₁EF全等，再结合∠P₁CE=∠G₁FE=90°去说明；②按题目要求所画图形见图1，直线G₁G₂与直线CD的位置关系为互相垂直；
（2）①当点P₁在线段CH的延长线上时，结合已知说明CE=4，且由四边形FEHC是正方形，得CH=CE=4，再根据题设可得G₁F=x．P₁H=x-4，进而可得y与x之间的函数关系式；②当点P₁在线段CH上时，同理可得FG₁=x，P₁H=4-x，进而可得y与x之间的函数关系式；③当点P₁与点H重合时，说明△P₁FG₁不存在，再作综合说明即可．
点评：本题着重考查了二次函数解、图形旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．