Question

13．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，已知AE=$\sqrt{2}$c，这时我们把关于x的形如ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）试判断方程$\sqrt{2}$x²+$\sqrt{10}$x+$\sqrt{3}$=0是不是“勾系一元二次方程”；
（2）求关于x的“勾系一元二次方程”ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0的实数根．

Answer 1

分析 （1）利用a²+b²=c²判定即可；
（2）通过求根公式来解方程即可，并用a²+b²=c²代换．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2}$c=$\sqrt{10}$，
∴c=$\sqrt{5}$，
∵（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{3}$）²=（$\sqrt{5}$）²，
∴$\sqrt{2}$x²+$\sqrt{10}$x+$\sqrt{3}$=0是“勾系一元二次方程”；
（2）ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0
x=$\frac{-\sqrt{2}c±\sqrt{2{c}^{2}-4ab}}{2a}$=$\frac{-\sqrt{2}c±\sqrt{2（a-b）^{2}}}{2a}$=$\frac{-\sqrt{2}c±\sqrt{2}|a-b|}{2a}$，
x₁=$\frac{-\sqrt{2}c+\sqrt{2}|a-b|}{2a}$，x₂=$\frac{-\sqrt{2}c-\sqrt{2}|a-b|}{2a}$．

点评 此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，理解“勾系一元二次方程”的定义是解决问题的关键．