Question

16．已知点A（t，1）为函数y=ax²+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y=x图象的交点．
（1）求t；
（2）若函数y=ax²+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；
（3）若1≤a≤2，设当$\frac{1}{2}$≤x≤2时，函数y=ax²+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m-n的最小值．

Answer 1

分析 （1）把A（t，1）代入y=x即可得到结论；
（2）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；
（3）把A（1，1）代入y=ax²+bx+4得，b=-3-a，得到y=ax²-（a+3）x+4的对称轴为直线x=$\frac{a+3}{2a}$，根据1≤a≤2，得到对称轴的取值范围$\frac{1}{2}$≤x≤2，当x=$\frac{1}{2}$时，得到m=-$\frac{a}{4}$+$\frac{5}{2}$，当x=2时，得到n=-$\frac{a}{4}$-$\frac{9}{4a}$+$\frac{5}{2}$，即可得到结论．

解答 解：（1）把A（t，1）代入y=x得t=1；
（2）∵y=ax²+bx+4的图象与x轴只有一个交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+4=1}\\{△={b}^{2}-16a=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-8}\end{array}\right.$；
（3）把A（1，1）代入y=ax²+bx+4得，b=-3-a，
∴y=ax²-（a+3）x+4=a（x-$\frac{a+3}{2a}$）²-$\frac{a}{4}$-$\frac{9}{4a}$+$\frac{5}{2}$，
∴对称轴为直线x=$\frac{a+3}{2a}$，
∵1≤a≤2，
∴$\frac{5}{4}$≤x=$\frac{a+3}{2a}$≤2，
∵$\frac{1}{2}$≤x≤2，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，y=ax²+bx+4的最大值为m=-$\frac{a}{4}$+$\frac{5}{2}$，
当x=2时，n=-$\frac{a}{4}$-$\frac{9}{4a}$+$\frac{5}{2}$，
∴m-n=$\frac{9}{4a}$，
∵1≤a≤2，
∴当a=2时，m-n的值最小，
即m-n的最小值$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．