分析 延长AE至F,使EF=AE,连接BF、DF、CF,则AF=2AE,证明四边形ABFD是平行四边形,得出AB∥DF,AB=DF,BF=AD,证出∠ADF=120°,△CDF是等边三角形,得出CF=DF=CD=AB,∠DCF=60°,得出∠BFC=120°,由SAS证明△BCF≌△AFD,得出BC=AF,即可得出结论.
解答 证明:延长AE至F,使EF=AE,连接BF、DF、CF,如图所示:
则AF=2AE,
∵点E是BD的中点,
∴BE=DE,
∴四边形ABFD是平行四边形,
∴AB∥DF,AB=DF,BF=AD,
∴∠CDF=∠BAC=60°,
∴∠ADF=120°,
∵AB=CD,
∴DF=CD,
∴△CDF是等边三角形,
∴CF=DF=CD=AB,∠DCF=60°,
∴∠BFC=120°,
∴∠BFC=∠ADF,
在△BCF和△AFD中,$\left\{\begin{array}{l}{BF=AD}&{\;}\\{∠BFC=∠ADF}&{\;}\\{CF=DF}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△BCF≌△AFD(SAS),
∴BC=AF,
∴BC=2AE.
点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识;通过作辅助线证出平行四边形和全等三角形是解决问题的关键.
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