Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为(3，0)、(3，4)．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP．已知动点运动了x秒．

(1)P点的坐标为(________，________)；(用含x的代数式表示)

(2)试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；

(3)请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．

Answer 1

答案：
解析：

(1)(3－x，x); 　　(2)设△MPA的面积为S，在△MPA中，MA＝3－x，MA边上的高为x，其中，0≤x≤3，∴S＝(3－x)·x＝(－x2＋3x)＝－(x－)2＋，∴S的最大值为，此时x＝; 　　(3)延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA.①若MP＝PA，∵PQ⊥MA，∴MQ＝QA＝x．∴3x＝3．∴x＝1．②若MP＝MA，则MQ＝3－2x，PQ＝x，PM＝MA＝3－x．在Rt△PMQ中，∵PM2＝MQ2＋PQ2，∴(3－x)2＝(3－2x)2＋(x)2．∴x＝．③若PA＝AM，∵PA＝x，AM＝3－x．∴x＝3－x．∴x＝．综上所述，x＝1，或x＝，或x＝．