Question

已知，如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB于D（AD＜DB），点E是DB上任意一点（点D、B除外），直线CE交⊙O于点F，连接AF与直线CD交于点G．
（1）求证：AC²=AG•AF；
（2）若点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证AC²=AG•AF，即证AC：AG=AF：AC，可以通过证明△AGC∽△ACF得到．
（2）分清E点在AD上有两种情况，然后逐一证明．
解答：（1）证明：连接CB，
∵AB是直径，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，又∠CAD=∠BAC，
∴△CAD∽△BAC，
∴∠ACD=∠ABC，
∵∠ABC=∠AFC，
∴∠ACD=∠AFC，∠CAG=∠FAC，
∴△ACG∽△AFC，
∴，
∴AC²=AG•AF；

（2）解：当点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论仍成立
①当点E与点D重合时，F与G重合，如图所示：
有AG=AF，∵CD⊥AB，
∴，AC=AF，
∴AC²=AG•AF
②当点E与点D不重合时（不含点A）时，如图所示：

证明类似（1）．
点评：考查相似三角形的判定方法及圆周角定理的综合运用．