如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,BC=8,D在边BC上,E在线段DC上,DE=4,△DEF是等边三角形,边DF交边AB于点M,边EF交边AC于点N.
(1)求证:△BMD∽△CNE;
(2)当BD为何值时,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切?
(3)设BD=x,五边形ANEDM的面积为y,求y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围;当x为何值时,y有最大值?并求出y的最大值.
(1)通过证明角相等,从而证明△BMD∽△CNE。
(2)当BD=16﹣8时,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切
(3)y=﹣(x﹣2)2+
(0≤x≤4)
当x=2时,y有最大值,最大值为.
解析试题分析:(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C=30°,
∵△DEF是等边三角形,
∴∠FDE=∠FED=60°,
∴∠MDB=∠NEC=120°,
∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°,
∴△BMD∽△CNE;
(2)过点M作MH⊥BC,
∵以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切,
∴MH=MF,
设BD=x,
∵△DEF是等边三角形,
∴∠FDE=60°,
∵∠B=30°,
∴∠BMD=∠FDE﹣∠B=60°﹣30°=30°=∠B,
∴DM=BD=x,
∴MH=MF=DF﹣MD=4﹣x,
在Rt△DMH中,sin∠MDH=sin60°==
=
,
解得:x=16﹣8,
∴当BD=16﹣8时,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切;
(3)过点M作MH⊥BC于H,过点A作AK⊥BC于K,
∵AB=AC,
∴BK=BC=×8=4,
∵∠B=30°,
∴AK=BK•tan∠B=4×=
,
∴S△ABC=BC•AK=×8×=
,
由(2)得:MD=BD=x,
∴MH=MD•sin∠MDH=x,
∴S△BDM=•x•x=
x2,
∵△DEF是等边三角形且DE=4,BC=8,
∴EC=BC﹣BD﹣DE=8﹣x﹣4=4﹣x,
∵△BMD∽△CNE,
∴S△BDM:S△CEN=()2=
,
∴S△CEN=(4﹣x)2,
∴y=S△ABC﹣S△CEN﹣S△BDM=﹣
x2﹣
(4﹣x)2=﹣
x2+2
x+
=﹣
(x﹣2)2+
(0≤x≤4),
当x=2时,y有最大值,最大值为.
考点:此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识
点评:中考压轴题,综合性较强,难度较大,注意数形结合思想与方程思想的应用
科目:初中数学 来源: 题型:
A、
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B、(
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C、
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D、
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