Question

6．如图，抛物线y=ax²+bx-4（a≠0）经过点A（5，6），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=4OB．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）如果点D在第四象限的抛物线上，若△ABD为直角三角形，求D的坐标．

Answer 1

分析 （1）可先求得C点坐标，则可求得OB长，可求得B点坐标，再把A、B坐标代入可求得抛物线解析式；
（2）由点D在第四象限，当△ABD为直角三角形时有∠DBA=90°或∠BDA=90°，①当∠DBA=90°时，过D作DE⊥x轴于点E，则可知DE=BE，可得到关于D点坐标的方程，可求得D点坐标，②当∠BDA=90°时，过D作DF⊥x轴于点F，过A作AG⊥x轴于点G，过在作DH∥x轴，交AG于点H，则可得到∠DBF=∠DHA，利用三角形相似可得到关于D点坐标的方程，可求得D点坐标．

解答 解：
（1）在y=ax²+bx-4中，令x=0可得y=-4，
∴C（0，-4），
∴OC=4，
∴OB=1，
∴B（-1，0），
把A、B坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4=0}\\{25a+5b-4=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-3x-4；
（2）∵点D在第四象限的抛物线上，
∴可设D（x，x²-3x-4）（x＞0且x²-3x-4＜0），
当△ABD为直角三角形时，则只有∠DBA=90°或∠BDA=90°，
①当∠DBA=90°时，过D作DE⊥x轴于点E，如图1，

∵B（-1，0），A（5，6），
∴直线AB解析式为y=x+1，
∴∠ABO=45°，
∴∠EBD=45°，
∴DE=BE，
∵B（-1，0），D（x，x²-3x-4），
∴BE=x+1，DE=-x²+3x+4，
∴x+1=-x²+3x+4，解得x=-1或x=3，
当x=-1时，B、D重合，舍去，当x=3时，x²-3x-4=-4，
∴D（3，-4）；
②当∠BDA=90°时，过D作DF⊥x轴于点F，过A作AG⊥x轴于点G，过在作DH∥x轴，交AG于点H，如图2，

∵∠DBF+∠BDA=∠AGF+∠FAG，
∴∠DBF=∠DHA，
∴△BDF∽△ADH，
∴$\frac{DF}{BF}$=$\frac{DH}{AH}$，即$\frac{-{x}^{2}+3x+4}{x+1}$=$\frac{6-（x+1）}{6-（{x}^{2}-3x-4）}$，解得x=1+2$\sqrt{2}$或x=1-2$\sqrt{2}$（小于0，舍去），此时x²-3x-4=2-2$\sqrt{2}$，
∴D（1+2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$），
综上可知D点坐标为（3，-4）或（1+2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A点坐标是解题的关键，在（2）中确定出D点的位置，得到关于D点坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度适中．