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已知等腰三角形△ABC一个内角为30°,一条边长2cm,则△ABC的周长为
 
考点:勾股定理,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形
专题:分类讨论
分析:如图,作辅助线;运用分类讨论的数学思想按四种情况,运用勾股定理等知识逐一解析,即可解决问题.
解答:解:如图1、2,当30°内角为顶角时,
如图1,若底边BC=2,分别过点A、B作
AD⊥BC,BE⊥AC;
∵AB=AC(设为λ),
∴BD=CD=1,BE=
1
2
AB=
1
2
λ;
由勾股定理得:AD=
λ2-1

∵S△ABC=
1
2
BC•AD=
1
2
AC•BE,
1
2
×2•
λ2-1
=
1
2
λ2
,解得:λ=
2

∴△ABC的周长为2
2
+2;
如图2,过点B作BE⊥AC于点E;若腰AB为2,
则BE=
1
2
AB
=1,AE=
3
,CE=2-
3

由勾股定理:BC2=(2-
3
)2+12

解得:BC=
6
-
2

∴△ABC的周长为4+
6
-
2

如图3、4,当30°内角为底角时,
如图3,当腰AB=2时,过点A作AD⊥BC于点D;
则AD=1,BD=CD=
3

∴△ABC的周长为4+2
3

如图4,当底边BC=2时,过点A作AD⊥BC于点D;
则BD=CD=1;设AD=λ,则AB=2λ,
由勾股定理得:4λ22+12,解得:λ=
3
3

∴△ABC的周长为2+
4
3
3

故答案为2+2
2
或4+
6
-
2
或4+2
3
或2+
4
3
3
点评:该题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质等几何知识点及其应用问题;解题的关键是作辅助线;运用分类讨论的数学思想来分析、判断、推理或解答.
练习册系列答案
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如图,在△ABC中,AB=BC=10,AC=4
5
,D为边AB上一动点(D和A、B不重合),过D作DE∥BC交AC于E,并以DE为边向BC一侧作正方形DEFG,设AD=x,
(1)请用x的代数式表示正方形DEFG的面积,并求出当边FG落在BC边上时的x的值;
(2)设正方形DEFG与△ABC重合部分的面积为y,求y关于x的函数及其定义域;
(3)点D在运动过程中,是否存在D、G、B三点中的两点落在以第三点为圆心的圆上的情况?若存在,请直接写出此时AD的值,若不存在,则请说明理由.

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A、0
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C、-
1
3
D、-
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(1)本次调查的样本容量为
 

(2)在表中,m=
 
,n=
 

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分数段频数频率
自然科学4000.20
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数学mn

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