如图,△
ABC是一块等腰三角形的废铁料(AB=AC).已知∠BAC是锐角,量得底边BC的长为60 cm,BC边上的高为40 cm,用它截一块一边长为30 cm的矩形(要求:使矩形的一边与△ABC的一边重合,而矩形的另两个顶点分别在△ABC的另两条边上).(1)问一共有几种不同的截法,请在图中画出所有截法的示意图,并在图中标明长为30 cm的那条边;
(2)试求出以上你所画的各种截法中,所截得的矩形的另一边长.
解:
(1)因矩形一边长30 cm,另一边长不确定,故矩形截法有六种(如图所示,一边在AC上的两种画法未画出,与截法二和截法四类似),其中PQ=30 cm.(2)①在△ABC中,作AF⊥BC,垂足为F,易得AB=AC===50(cm)
②作
CH⊥AB,垂足为H,由△ABF∽△CBH,知AF·BC=CH·AB,易得CH为48 cm.由相似三角形的性质,易求得截法一中PN=20 cm,截法二中PN=19.2 cm,截法三中PN=15 cm,截法四中PN=18.75 cm.因为△ABC为等腰三角形,故一条边在AC上时的情况与截法二、截法四一样.点评:题目不仅考查相似三角形知识的拓展,而且开放性的设计又考查了分类讨论思想及建模能力,极富有操作性及思想性.
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