Question

【题目】已知有公共顶点的△和△都是等边三角形，且＞.

(1)如图1，当点恰好在的延长线上时，连结，分别交，于点，．

①求证：；

②连接，求证：∥；

(2)图2是由图1中的△绕点顺时针旋转角(＜＜)得到，使得恰好经过的中点，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)猜想：BC2+BD2=AB2，理由见解析.

【解析】

(1)①先由等边三角形得出CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE =60°，从而判断出∠ACE=∠DCB，得到△ACE≌△DCB，根据全等三角形的对应边相等即可得证；

②由∠ACD=∠BCE =60°可得∠MCN =60°，由△ACE≌△DCB可得∠CAE=∠CDB，然后根据ASA证明△ACM≌△DCN，从而得CM=CN，继而得到△MCN是等边三角形，进而根据平行线的判定即可得证；

(2)猜想：BC2+BD2=AB2，理由为：如图，连接AE，仿照(1)①证明△ACE≌△DCB，从而可得 AE=BD，∠AEC=∠DBC，再根据等边三角形的性质可得∠CBF=30°，继而可得∠AEB=∠AEC+∠BEC=90°，利用勾股定理可得AE2+BE2=AB2，等量代换即可得BC2+BD2=AB2.

(1)①∵△ACD，△BCE都是等边三角形，

∴∠DCA=∠BCE=60°，CA=CD，CB=CE，

∵∠ACE=∠ACD+∠MCN，∠DCB=∠MCN+∠BCE，

∴∠ACE=∠DCB，

∴△ACE≌△DCB(SAS)，

∴AE=BD；

②∵A、C、B共线，∠ACD=∠BCE =60°，

∴∠MCN=180°-∠ACD-∠BCE=60°，

∴∠ACM=∠DCN，

∵△ACE≌△DCB，

∴∠CAM=∠CDN，

又∵CA=CD，

∴△ACM≌△DCN，

∴CM=CN，

又∵∠MCN=60°，

∴△MCN是等边三角形，

∴∠MNC=60°，

又∵∠BCE=60°，

∴∠MNC=∠BCE，

∴MN//AB；

(2)猜想：BC2+BD2=AB2，理由如下：

如图，连接AE，

∵△ACD，△BCE都是等边三角形，

∴∠DCA=∠BCE=∠BEC=∠CBE=60°，CA=CD，CB=CE=BE，

∵∠ACE=∠ACD+∠MCN，∠DCB=∠MCN+∠BCE，

∴∠ACE=∠DCB，

∴△ACE≌△DCB(SAS)，

∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，

又∵F为BC中点，

∴∠CBF=∠CBE=30°，

∴∠AEC=30°，

∴∠AEB=∠AEC+∠BEC=90°，

∴AE2+BE2=AB2，

∴BC2+BD2=AB2.