Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）4

【解析】

（1）首先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠EBC＝∠OEB，然后得出OE∥BC，则有∠OEA＝∠ACB=90°，则结论可证．

（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，首先证明四边形OHCE是矩形，则有，然后利用等腰三角形的性质求出BH的长度，再利用勾股定理即可求出OH的长度，则答案可求．

（1）证明：连接OE．

∵OE＝OB，

∴∠OBE＝∠OEB．

∵BE平分∠ABC，

∴∠OBE＝∠EBC，

∴∠EBC＝∠OEB，

∴OE∥BC，

∴∠OEA＝∠ACB．

∵∠ACB＝90°，

∴∠OEA＝90°

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，

∵OH⊥BF，

．

∴四边形OECH为矩形，

∴OH＝CE．

∵，BF＝6，

∴BH＝3．

在Rt△BHO中，OB＝5，

∴OH＝＝4，

∴CE＝4．