Question

如图，已知，A为∠POQ的边OQ上的一点，OA=2，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=60°，当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN保持不变）时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平行移动，设OM=x，ON=y（y＞x≥0）．
（1）求证：AN²=ON•MN；
（2）当∠MAN旋转30°（即∠OAM=30°）时，求点N移动的距离；
（3）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据∠MAN=∠POQ=60°，公共角∠MNA=∠ONA，判断△OAN∽△ANM，利用相似比证题；
（2）当AM边与AO重合的位置时，△OAN是等边三角形，求此时的ON，当∠MAN旋转30°时，△OAN是直角三角形，解直角三角形求ON，作差即可；
（3）过A作AD⊥OP，垂足为D，解Rt△OAD求AD，OD，在Rt△ADN中，利用勾股定理求x、y的函数关系式．

解答：解：（1）因∠MAN=∠POQ=60°，∠MNA=∠ONA，
所以△OAN∽△ANM，
得

AN

MN

=

ON

AN

，
AN²=ON•MN；（3分）

（2）由∠MAN=∠POQ=60°，当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置时，△OAN是等边三角形，
ON=OA=2．         （5分）
当∠MAN旋转30°时，△OAN是直角三角形，
OA=2，∠AON=60°，
得ON=4，
故点N移动的距离为2；（7分）

（3）过A作AD⊥OP，垂足为D，在Rt△OAD中，
OD=OA•cos60°=2×

1

2

=1，
AD=OA•sin60°=

3

，
所以DN=ON-OD=y-1，
在Rt△ADN中，AN2=AD2+DN2=(

3

)2+(y-1)2=y2-2y+4．（9分）
又由（1）得AN²=ON•MN，即y²-2y+4=y（y-x），
整理得y=

4

2-x

，（10分）
因y＞0，
故2-x＞0，即x＜2．
又因x≥0，
所以x的取值范围是0≤x＜2．              （11分）

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理的运用．关键是根据图形旋转的特点，画出特殊图形，充分运用相似三角形及勾股定理求解．