Question

4．在同一直角坐标系中，研究函数y₁=x+k与y₂=$\frac{2k+4}{x}$（k≠-2，k为常数）的图象，
（1）若两函数图象分别交于点（-4，-2）和（n，4），求当y₁＜y₂时x的取值范围；
（2）小明在研究两个函数图象时，发现它们的交点坐标为（-k-2，-2），（2，k+2）．
①当这个函数的图象只有一个交点时，求k的值；
②当x＞m时，若k取任意满足k＞-4且k≠-2的值时，y₁＞y₂始终成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，求出k、n的值，利用图象法即可解决问题；
（2）①由题意可知k+2=-2时，两个交点是同一个点；
②分两种情形，利用图象法即可解决问题；

解答 解：（1）∵x=-4，y=-2，
∴-2=-4+k，
∴k=2，
∴当y=4时，x=$\frac{8}{4}$=2，
∴两函数图象分别交于点（-4，-2）和（2，4），
观察图象可知，x＜-4或0＜x＜4时，y₁＜y₂，


（2）①由题意k+2=-2，
∴k=-4，
②当-4＜k＜-2时，图象如图所示，

观察图象可知，x＞2时，y₁＞y₂，
∴m的最小值为2．
当k＞-2时，图象如图所示，

观察图象可知，x＞2时，y₁＞y₂，
∴m的最小值为2．
综上所述，m的最小值为2．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．