Question

将一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b．
（1）求点（a，b）落在直线y=2x-1上的概率；
（2）求以点O（0，0），A（4，-3），B（a，b）为顶点能构成等腰三角形的概率；
（3）求关于x，y的方程组

ax+by=3 x+2y=2

只有正数解的概率．

Answer 1

分析：（1）找到落在落在直线y=2x-1的点即可；
（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数36种结果，而满足条件的事件是以点（0，0）、（1，-1）、（m，n）为顶点能构成等腰三角形，可以通过列举得到事件数，根据概率公式得到结果．
（3）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．

解答：解：（1）列表得：

	1	2	3	4	5	6
1	（1，1）	（1，2）	（1，3）	（1，4）	（1，5）	（1，6）
2	（2，1）	（2，2）	（2，3）	（2，4）	（2，5）	（2，6）
3	（3，1）	（3，2）	（3，3）	（3，4）	（3，5）	（3，6）
4	（4，1）	（4，2）	（4，3）	（4，4）	（4，5）	（4，6）
5	（5，1）	（5，2）	（5，3）	（5，4）	（5，5）	（5，6）
6	（6，1）	（6，2）	（6，3）	（6，4）	（6，5）	（6，6）

∵落在直线y=2x-1上的点有（1，1）、（2，3）、（3，5）三个，
∴点（a，b）落在直线y=2x-1上的概率为

3

36

=

1

12

；

（2）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数36种结果，
而满足条件的事件是以点（0，0）、（4，-3）、（m，n）为顶点能构成等腰三角形，
（4，3）与（3，4），（4，2），（1，1），共有4种结果，
根据古典概型概率公式得到概率是

1

9

，

（3）当2a-b=0时，方程组无解；
当2a-b≠0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．
易知a，b都为大于0的整数，则两式联合求解可得x=

6-2b

2a-b

，y=

2a-3

2a-b

，
∵使x、y都大于0则有

6-2b

2a-b

＞0，

2a-3

2a-b

，＞0，
∴解得a＜1.5，b＞3或者a＞1.5，b＜3，而a，b都为1到6的整数，
所以可知当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2，
这两种情况的总出现可能有3+10=13种；
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率为

13

36

．

点评：本题考查了列表法或树状图求概率，第三题中难点是：当方程组相同未知数的系数之比相等，但与常数项之比不相等时，方程组无解，关键是得到使方程组为正整数的解的个数．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．